上一期海通期貨期權(quán)投資者教育專欄文章提到了隨機(jī)波動(dòng)率的概念，今天我們就給大家介紹一下隨機(jī)波動(dòng)率的經(jīng)典模型之一——Heston模型。

作為期權(quán)定價(jià)最經(jīng)典的理論模型，B-S模型取得了巨大的成功，然而B-S模型還有一些明顯的不足，其中重要一點(diǎn)就是對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率固定的假設(shè)。期權(quán)的價(jià)格可以體現(xiàn)在隱含波動(dòng)率上，而期權(quán)的隱含波動(dòng)率一般是變化的，行權(quán)價(jià)格和到期時(shí)間不同的期權(quán)合約，隱含波動(dòng)率通常也會(huì)不同，而這些顯然與B-S模型的假設(shè)不相符。

為了克服之前所提到的諸多問(wèn)題，更加準(zhǔn)確地為期權(quán)定價(jià)，我們使用隨機(jī)波動(dòng)率模型來(lái)優(yōu)化期權(quán)價(jià)格的計(jì)算。隨機(jī)波動(dòng)率模型認(rèn)為波動(dòng)率本身隨著價(jià)格變化而變化，并且這一變化過(guò)程符合隨機(jī)過(guò)程。主要思路是將標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率描述為一個(gè)由價(jià)格水平、波動(dòng)率均值回歸趨勢(shì)和波動(dòng)率方差控制的隨機(jī)過(guò)程。這樣一來(lái)就可以對(duì)波動(dòng)率的變化進(jìn)行動(dòng)態(tài)刻畫，從而提供對(duì)期權(quán)進(jìn)行更加準(zhǔn)確定價(jià)的可能。隨機(jī)波動(dòng)率模型中比較經(jīng)典的就是Heston模型。Heston在1993年提出這種模型，該模型假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格服從一個(gè)擴(kuò)散過(guò)程，并考慮資產(chǎn)價(jià)格和資產(chǎn)波動(dòng)率的相關(guān)性。在這個(gè)模型中，期權(quán)的價(jià)格是通過(guò)計(jì)算看漲期權(quán)到期時(shí)落在實(shí)值區(qū)域的概率得到的。Heston模型考慮了波動(dòng)率與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格回報(bào)之間的相關(guān)性，相關(guān)性參數(shù)的刻畫尤為重要，它反映了價(jià)格變動(dòng)的偏度，也很大程度上顯示了價(jià)格回報(bào)尖峰厚尾的特點(diǎn)。

下圖展示了不同相關(guān)性條件下標(biāo)的收益率的概率分布情況，當(dāng)相關(guān)系數(shù)ρ>0時(shí)，價(jià)格回報(bào)厚尾右偏，因?yàn)椴▌?dòng)率隨回報(bào)的變大而變大，會(huì)對(duì)價(jià)格變動(dòng)起到放大作用。與之相對(duì)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)ρ<0時(shí)，價(jià)格回報(bào)厚尾左偏，因?yàn)椴▌?dòng)率隨回報(bào)的變大而變小，會(huì)對(duì)價(jià)格變動(dòng)起到減小作用。相關(guān)系數(shù)之所以重要，主要是因?yàn)橥ㄟ^(guò)對(duì)波動(dòng)率變化的精確捕捉，可以在不同相關(guān)關(guān)系背景下為期權(quán)找到正確的價(jià)格。

由于B-S模型和Heston模型對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率假設(shè)的不同，二者對(duì)相同期權(quán)產(chǎn)生的定價(jià)也勢(shì)必會(huì)不同，下圖是假設(shè)波動(dòng)率與回報(bào)相關(guān)系數(shù)ρ分別為-0.5和與0.5時(shí)，Heston模型與B-S模型對(duì)看漲期權(quán)定價(jià)的差異隨標(biāo)的價(jià)格變動(dòng)的變化情況（圖中期權(quán)行權(quán)價(jià)格均為100）。

從上圖中可以看出，當(dāng)波動(dòng)率與回報(bào)正相關(guān)時(shí)，實(shí)值看漲期權(quán)（標(biāo)的價(jià)格高于行權(quán)價(jià)格100）若以Heston模型定價(jià)會(huì)比B-S模型定價(jià)便宜，但若是虛值看漲期權(quán)（標(biāo)的價(jià)格低于行權(quán)價(jià)格100）則會(huì)比B-S模型定價(jià)更貴。相反，若波動(dòng)率與回報(bào)為負(fù)相關(guān)時(shí)，實(shí)值看漲期權(quán)以Heston模型定價(jià)會(huì)比B-S模型定價(jià)更貴，虛值看漲期權(quán)則會(huì)比B-S模型定價(jià)更便宜。

在現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中，虛值和實(shí)值看漲期權(quán)的交易價(jià)格通常都會(huì)高于B-S模型所給出的價(jià)格，所以我們可以認(rèn)為對(duì)看漲期權(quán)定價(jià)時(shí)，若期權(quán)為虛值狀態(tài)，設(shè)置其相關(guān)性為正相關(guān)，反之為實(shí)值狀態(tài)時(shí)，設(shè)置其相關(guān)性為負(fù)相關(guān)以擬合實(shí)際的市場(chǎng)狀況。如此，我們便能得出更符合市場(chǎng)狀況的隱含波動(dòng)率曲線。